Show that the three vectors `\hat {i}` + `\hat {j}` +`\hat {k}`  , 2`\hat {i}` - 3`\hat {j}` + `\hat {k}`  and 4`\hat {i}` + `\hat {j}` - 5`\hat {k}` are mutually perpendicular.


Given:

Let 
Vector 1 is `\vec {A}` = `\hat {i}` + `\hat {j}` + `\hat {k}` 
Vector 2 is `\vec {B}` = 2`\hat {i}` - 3`\hat {j}` + `\hat {k}` 
Vector 3 is `\vec {C}` = 4`\hat {i}` + `\hat {j}` - 5`\hat {k}`

To Find:

To prove that the given three vectors are mutually perpendicular to each other.

Solution: 

We know that if two vectors are mutually perpendicular to each other then their scalar (dot) product is equal to Zero. So, we should have to prove

(i) `\vec {A}` . `\vec {B}` = 0  
(ii) `\vec {A}` . `\vec {C}` = 0
and 
(iii) `\vec {B}` . `\vec {C}` = 0 


(i) `\vec {A}` . `\vec {B}` = 0  
 
`\vec {A}` . `\vec {B}` = (`\hat {i}` + `\hat {j}` + `\hat {k}`  )( 2`\hat {i}` - 3`\hat {j}` + `\hat {k}` )

`\vec {A}` . `\vec {B}`  = (1 ｘ 2) `hat {i}` . `hat {i}` + (1 ｘ -3) `hat {i}` . `hat {j}` + (1 ｘ 1) `hat {i}` . `hat {k}` + (1 ｘ 2) `hat {j}` . `hat {i}` + (1 ｘ -3) `hat {j}` . `hat {j}` + (1 ｘ 1) `hat {j}` . `hat {k}` + (1 ｘ 2) `hat {k}` . `hat {i}` + (1 ｘ -3) `hat {k}` . `hat {j}` + (1 ｘ 1) `hat {k}` . `hat {k}`

[∴ `hat {i}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {j}` = `hat {k}` . `hat {k}` = 1
and
`hat {i}` . `hat {j}` = `hat {j}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {k}` = `hat {k}` . `hat {j}` = `hat {k}` . `hat {i}` = `hat {i}` . `hat {k}`= 0 ]

So by putting these values we have

`\vec {A}` . `\vec {B}`  = 2 + 0 + 0 + 0 - 3 + 0 + 0 + 0 + 1

`\vec {A}` . `\vec {B}`  = 0     --------Eqn (1)


(ii) `\vec {A}` . `\vec {C}` = 0  
 
`\vec {A}` . `\vec {C}` = (`\hat {i}` + `\hat {j}` + `\hat {k}`  )( 4`\hat {i}` + `\hat {j}` - 5`\hat {k}` )

`\vec {A}` . `\vec {C}`  = (1 ｘ 4) `hat {i}` . `hat {i}` + (1 ｘ 1) `hat {i}` . `hat {j}` + (1 ｘ -5) `hat {i}` . `hat {k}` + (1 ｘ 4) `hat {j}` . `hat {i}` + (1 ｘ 1) `hat {j}` . `hat {j}` + (1 ｘ -5) `hat {j}` . `hat {k}` + (1 ｘ 4) `hat {k}` . `hat {i}` + (1 ｘ 1) `hat {k}` . `hat {j}` + (1 ｘ -5) `hat {k}` . `hat {k}`

[∴ `hat {i}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {j}` =1 = `hat {k}` . `hat {k}` 
and
`hat {i}` . `hat {j}` = `hat {j}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {k}` = `hat {k}` . `hat {j}` = `hat {k}` . `hat {i}` = `hat {i}` . `hat {k}`= 0 ]

So by putting these values we have

`\vec {A}` . `\vec {C}`  = 4 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 - 5

`\vec {A}` . `\vec {C}`  = 0     --------Eqn (2)


(iii) `\vec {B}` . `\vec {C}` = 0  
 
`\vec {B}` . `\vec {C}` = (2`\hat {i}` - 3`\hat {j}` + `\hat {k}`  )( 4`\hat {i}` + `\hat {j}` - 5`\hat {k}` )

`\vec {B}` . `\vec {C}`  = (2 ｘ 4) `hat {i}` . `hat {i}` + (2 ｘ 1) `hat {i}` . `hat {j}` + (2 ｘ -5) `hat {i}` . `hat {k}` + (-3 ｘ 4) `hat {j}` . `hat {i}` + (-3 ï½˜ 1) `hat {j}` . `hat {j}` + (-3 ï½˜ -5) `hat {j}` . `hat {k}` + (1 ｘ 4) `hat {k}` . `hat {i}` + (1 ｘ 1) `hat {k}` . `hat {j}` + (1 ｘ -5) `hat {k}` . `hat {k}`

[∴ `hat {i}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {j}` =1 = `hat {k}` . `hat {k}` 
and
`hat {i}` . `hat {j}` = `hat {j}` . `hat {i}` = `hat {j}` . `hat {k}` = `hat {k}` . `hat {j}` = `hat {k}` . `hat {i}` = `hat {i}` . `hat {k}`= 0 ]

So by putting these values we have

`\vec {B}` . `\vec {C}`  = 8 + 0 + 0 + 0 - 3 + 0 + 0 + 0 - 5

`\vec {B}` . `\vec {C}`  = 0     --------Eqn (3)

Eqns (1), (2), and (3) show that the mutual dot product of given vectors `\vec {A}`, `\vec {B}`, and  `\vec {C}` are zero. Hence, it is proved that these vectors are mutually perpendicular to each other.

************************************
************************************
Numerical Problem 2.9
⇑
List of 11th Physics Numerical Problems of Chapter - 2
⇑



************************************

Shortcut Links For 


1. Website for School and College Level Physics   
2. Website for School and College Level Mathematics  
3. Website for Single National Curriculum Pakistan - All Subjects Notes 

© 2022-Onwards by Academic Skills and Knowledge (ASK)     

Note:  Write me in the comment box below for any query and also Share this information with your class-fellows and friends.